Boules de même couleur - Olympiades 2018 Exercice 3

Soit  $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ . On dispose d’une urne contenant  $n$ boules pouvant être de différentes couleurs.
Le jeu consiste à extraire au hasard une boule de l’urne puis, sans la remettre dans l’urne, à extraire une seconde boule de l’urne. Le joueur a gagné lorsque les deux boules tirées sont de la même couleur.

On admet qu’à chaque tirage, toutes les boules de l’urne ont la même probabilité d’être tirées.
On dit que le jeu est équitable lorsque la probabilité  $P(\text{G})$ que le joueur gagne est égale à ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ .

1. a. Démontrer que si l’urne contient  $10$ boules dont  $4$ blanches et  $6$ rouges alors $P(\text{G})={\displaystyle \frac{7}{15}}$ .
    b. Calculer  $P(\text{G})$ lorsque l’urne contient  $12$ boules dont  $4$ blanches,  $6$ rouges et  $2$ noires.

2. Dans cette question, l’urne contient  $6$ boules rouges et d’autres boules qui sont toutes blanches.
    a. Soit  $x$ le nombre de boules blanches contenues dans l’urne. Démontrer que $P(\text{G})={\displaystyle \frac{x(x-1)+30}{(x+6)(x+5)}}$ .
    b. Combien faudrait-il de boules blanches pour que le jeu soit équitable ?

3. Dans cette question, l’urne ne contient que des boules de deux couleurs différentes.
    a. On suppose que l’urne présente la configuration  $(a,b)$ c’est-à-dire qu’elle contient, par exemple,  $a$ boules rouges et  $b$ boules blanches. Démontrer que le jeu est équitable lorsque $n=(a-b{)}^2$ .
    b. Réciproquement, démontrer que si  $n$ est le carré d’un entier  $p$ , alors il existe deux entiers naturels  $a$ et  $b$ avec  $a\ge b$ que l’on exprimera en fonction de  $p$ tels que la configuration  $(a,b)$  conduise à un jeu équitable.
    c. Donner six couples  $(a,b)$  conduisant à un jeu équitable.

4. Dans cette question, l’urne contient des boules de trois couleurs différentes selon la configuration $(a,b,c)$  c’est-à-dire, par exemple,  $a$ boules blanches,  $b$ rouges et  $c$ noires.
    a. Montrer que si $n=13$ , le jeu est équitable lorsque $a^2+b^2+c^2=91$ . En déduire une configuration $(a,b,c)$  conduisant à un jeu équitable pour $n=13$ .
    b. Pour un nombre quelconque de boules, montrer que si le couple  $(x,y)$ conduit à un jeu équitable pour deux couleurs alors il existe une unique valeur de  $z$ non nulle telle que le triplet  $(x,y,z)$  conduise également à un jeu équitable pour trois couleurs.
    c. Donner un triplet  $(a,b,c)$ conduisant à un jeu équitable pour trois couleurs.

5. On suppose que l’urne contient des boules de  $m$ couleurs différentes où $m\ge 2$ . Démontrer que la configuration  $(1,3,9,\dots ,3^{m-1})$ conduit à un jeu équitable.